Tab 1 · 斜面滑块
场景：质量 $m$ 的滑块从斜面高 $h$ 处由静止滑下，斜面倾角 $\theta$ 可调，动摩擦因数 $\mu$ 可调。
观察 有摩擦 / 无摩擦 两种情况下，动能 $E_k$、势能 $E_p$、机械能 $E$ 的变化规律。
观察 有摩擦 / 无摩擦 两种情况下，动能 $E_k$、势能 $E_p$、机械能 $E$ 的变化规律。
实时能量柱状图
E_k (动能)0 J
E_p (势能)0 J
E (总机械能)0 J
重力做功：$W_G = mgh$
滑块从高度 $h$ 沿斜面滑到底部。重力做功只与初末位置的高度差有关，与路径无关：
1沿斜面方向分析
$$W_G = mg \cdot s \cdot \cos(90°-\theta) = mg \cdot s \cdot \sin\theta$$
重力沿斜面分力为 $mg\sin\theta$，位移为斜面长度 $s$。
2几何关系
$$s \cdot \sin\theta = h \quad \Longrightarrow \quad W_G = mgh$$
斜面长度 $s$ 与高度 $h$ 的关系：$h = s\sin\theta$。
结论 重力做功 $W_G = mgh$，与斜面倾角 $\theta$ 无关，只取决于高度差。
摩擦力做功：$W_f = -\mu mg\cos\theta \cdot s$
滑块在斜面上受支持力 $N = mg\cos\theta$，滑动摩擦力 $f = \mu N = \mu mg\cos\theta$。
1摩擦力方向与运动方向相反
$$W_f = -f \cdot s = -\mu mg\cos\theta \cdot s$$
负号表示摩擦力做负功，消耗机械能。
2用 $h$ 和 $\theta$ 表达
$$s = \frac{h}{\sin\theta} \quad\Longrightarrow\quad W_f = -\mu mg\cos\theta \cdot \frac{h}{\sin\theta} = -\frac{\mu mgh}{\tan\theta}$$
摩擦损耗与 $\mu$ 成正比，与 $\tan\theta$ 成反比——倾角越小，摩擦损耗越大。
动能定理：$W_{\text{合}} = \Delta E_k$
由动能定理，合外力做的功等于动能的变化量：
1无摩擦情况 ($\mu = 0$)
$$W_G = \frac{1}{2}mv^2 - 0 \quad\Longrightarrow\quad mgh = \frac{1}{2}mv^2$$
重力势能全部转化为动能，机械能守恒：$E_k + E_p = mgh = \text{const}$。
2有摩擦情况 ($\mu > 0$)
$$W_G + W_f = \frac{1}{2}mv^2 \quad\Longrightarrow\quad mgh - \mu mg\cos\theta \cdot s = \frac{1}{2}mv^2$$
重力做功一部分转化为动能，一部分被摩擦消耗为内能。机械能不守恒。
3到底端速度
$$v = \sqrt{2g(h - \mu s\cos\theta)} = \sqrt{2gh\left(1 - \frac{\mu}{\tan\theta}\right)}$$
当 $\mu \geq \tan\theta$ 时，滑块无法下滑（摩擦力 ≥ 重力沿斜面分力）。
核心 无摩擦时 $E_k + E_p = \text{const}$（机械能守恒）；有摩擦时 $E$ 逐渐减小，减小的量等于摩擦产生的内能。
易错点 动能定理中 $W_{\text{合}}$ 是所有力的功之和（包括重力、支持力、摩擦力），不只是某个单独的力。支持力不做功（方向与运动方向垂直）。
Tab 2 · 竖直面圆周（过山车）
场景：小球从高度 $H$ 由静止释放，进入半径 $R$ 的竖直圆环轨道。
利用 机械能守恒 求各点速度，分析最高点不掉落的最小速度条件。
利用 机械能守恒 求各点速度，分析最高点不掉落的最小速度条件。
实时能量柱状图
E_k (动能)0 J
E_p (势能)0 J
E (总机械能)0 J
能量守恒求各点速度
轨道光滑，只有重力做功，机械能守恒。取圆环最低点所在水平面为零势能面。
1初始状态（释放点）
$$E_{\text{初}} = mgH + 0 = mgH$$
动能为零（由静止释放），势能为 $mgH$。
2任意位置（高度 $h'$ 处）
$$mgH = \frac{1}{2}mv^2 + mgh' \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2g(H - h')}$$
高度越高，速度越小；高度越低，速度越大。
3各关键点速度
$$v_A = \sqrt{2g(H-2R)},\quad v_B = v_D = \sqrt{2g(H-R)},\quad v_C = \sqrt{2gH}$$
A 点高度 $2R$，B/D 点高度 $R$，C 点高度 $0$。
最高点临界条件：$v_{\min} = \sqrt{gR}$
在最高点 A，小球受重力$mg$（向下）和轨道压力$N$（向下，指向圆心）。合力提供向心力：
1向心力方程
$$mg + N = \frac{mv_A^2}{R}$$
最高点：重力和轨道弹力都指向圆心（向下）。
2临界条件
$$N \geq 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{mv_A^2}{R} \geq mg \quad\Longrightarrow\quad v_A \geq \sqrt{gR}$$
小球不脱离轨道的条件是 $N \geq 0$。临界情况 $N=0$，仅重力提供向心力。
3对应的最小释放高度
$$mgH_{\min} = \frac{1}{2}m(\sqrt{gR})^2 + mg \cdot 2R = \frac{1}{2}mgR + 2mgR = \frac{5}{2}mgR$$
$$\boxed{H_{\min} = \frac{5}{2}R}$$
释放高度必须满足 $H \geq \dfrac{5}{2}R$，小球才能安全通过最高点。
结论 最高点临界速度 $v_{\min} = \sqrt{gR}$；最小释放高度 $H_{\min} = \dfrac{5}{2}R$。
易错点 最高点最小速度不是零！如果 $v_A = 0$，小球在最高点之前就已经脱离轨道做斜抛了。$v_{\min} = \sqrt{gR}$ 是刚好由重力提供全部向心力的临界值。
Tab 3 · 弹簧+滑块
场景：弹簧（劲度系数 $k$）压缩 $x_0$ 后释放滑块（质量 $m$），水平面摩擦因数 $\mu$ 可调。
观察 弹性势能 → 动能 → 摩擦损耗的三能联动过程。
观察 弹性势能 → 动能 → 摩擦损耗的三能联动过程。
实时能量柱状图
E_k (动能)0 J
E_p (弹性势能)0 J
E (总能量)0 J
弹性势能：$E_p = \frac{1}{2}kx^2$
弹簧弹力 $F = kx$ 是变力。弹簧从压缩量 $x_0$ 恢复到原长的过程中，弹力做的功等于弹性势能的减少量：
1弹力做功（变力积分）
$$W_{\text{弹}} = \int_0^{x_0} kx\,dx = \frac{1}{2}kx_0^2$$
弹力 $F = kx$ 随位移线性增大，做功等于 $F\text{-}x$ 图下的三角形面积。
2弹性势能表达式
$$E_p = \frac{1}{2}kx_0^2$$
这就是弹簧压缩 $x_0$ 时储存的弹性势能。
释放后能量转化
释放后，弹性势能转化为动能。若有摩擦，还要克服摩擦力做功。
1无摩擦 ($\mu = 0$)：滑块脱离弹簧时
$$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 \quad\Longrightarrow\quad v = x_0\sqrt{\frac{k}{m}}$$
弹性势能全部转化为动能，机械能守恒。
2有摩擦 ($\mu > 0$)：滑块脱离弹簧时
$$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \mu mg x_0 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{kx_0^2 - 2\mu mg x_0}{m}}$$
弹性势能 = 动能 + 摩擦损耗。要求 $kx_0 > 2\mu mg$，否则滑块无法脱离弹簧。
3有摩擦时的滑行距离
$$\frac{1}{2}mv^2 = \mu mg \cdot d \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{kx_0^2}{2\mu mg} - x_0$$
脱离弹簧后，动能全部被摩擦消耗。总运动距离（从释放到停下）$= x_0 + d$。
总结 $\dfrac{1}{2}kx_0^2 = \dfrac{1}{2}mv^2 + \mu mg s$
弹性势能 = 动能 + 摩擦产生的内能
弹性势能 = 动能 + 摩擦产生的内能
Tab 4 · 连接体（滑轮系统）
场景：跨过定滑轮的轻绳两端分别悬挂质量 $M$ 和 $m$（$M > m$），系统由静止释放。
$M$ 下降高度 $h$，$m$ 上升高度 $h$。系统机械能守恒（忽略滑轮质量和摩擦）。
$M$ 下降高度 $h$，$m$ 上升高度 $h$。系统机械能守恒（忽略滑轮质量和摩擦）。
实时能量柱状图
E_k (总动能)0 J
E_p (总势能)0 J
E (总机械能)0 J
系统势能变化
系统由 $M$ 和 $m$ 两个物体组成。释放后 $M$ 下降 $h$，$m$ 上升 $h$。
1$M$ 的势能变化
$$\Delta E_{pM} = -Mgh$$
$M$ 下降 $h$，势能减少。
2$m$ 的势能变化
$$\Delta E_{pm} = +mgh$$
$m$ 上升 $h$，势能增加。
3系统总势能变化
$$\Delta E_p = -Mgh + mgh = -(M-m)gh$$
因为 $M > m$，系统总势能减少，减少量为 $(M-m)gh$。
系统机械能守恒
轻绳不可伸长、滑轮无摩擦无质量 → 绳的张力对 $M$ 做的负功等于对 $m$ 做的正功，内力做功之和为零。只有重力做功，系统机械能守恒。
1系统动能增加
$$\Delta E_k = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}(M+m)v^2$$
两物体速率始终相同（绳不可伸长）。
2由机械能守恒
$$\Delta E_k + \Delta E_p = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}(M+m)v^2 = (M-m)gh$$
系统势能减少量 = 系统动能增加量。
3解出速度
$$v = \sqrt{\frac{2(M-m)gh}{M+m}}$$
这就是 $M$ 下降 $h$ 时两物体的速率。
核心结论 $(M-m)gh = \dfrac{1}{2}(M+m)v^2$
系统势能减少 = 系统动能增加
系统势能减少 = 系统动能增加
注意 单个物体（$M$ 或 $m$）的机械能不守恒——绳的张力对它做了功。只有把 $M$ 和 $m$ 看成一个系统，机械能才守恒。