Tab 1 · 基本公式与核心推论
核心命题：匀变速直线运动的 三个基本公式 及由此推导的 重要推论，是力学计算的基石。
理解推导链（加速度定义→速度公式→位移公式→无时间公式）是灵活应用的关键。
三个基本公式
匀变速直线运动由加速度 $a$ 恒定出发，可以推出三个基本公式。这三个公式含五个物理量（$v_0, v, a, t, x$），已知任意三个即可求其余两个——这就是"知三求二"。
公式 ①（速度公式）：$v = v_0 + at$ （不含 $x$）
公式 ②（位移公式）：$x = v_0 t + \dfrac{1}{2}at^2$ （不含 $v$）
公式 ③（无时间公式）：$v^2 - v_0^2 = 2ax$ （不含 $t$）
注意：以上公式中 $v_0, v, a, x$ 均为矢量，使用时需先选定正方向，与正方向同向取正，反向取负。
推导链：从加速度定义到无时间公式
公式 ③ 可由 ①② 消去 $t$ 得到：
1由公式①解出时间 $t$
$t = \dfrac{v - v_0}{a}$
2代入公式②
$x = v_0 \cdot \dfrac{v-v_0}{a} + \dfrac{1}{2}a\left(\dfrac{v-v_0}{a}\right)^2$
3化简
$x = \dfrac{v_0(v-v_0)}{a} + \dfrac{(v-v_0)^2}{2a} = \dfrac{2v_0(v-v_0)+(v-v_0)^2}{2a}$
提出 $(v-v_0)$，化简分子得 $2a \cdot x = v^2 - v_0^2$
结论
$v^2 - v_0^2 = 2ax$
无时间公式：不涉及 $t$ 时优先选用此公式
核心推论
推论 A · 平均速度公式
匀变速运动中，平均速度等于初末速度的算术平均值：
$v_{\text{avg}} = \dfrac{v_0 + v}{2} = \dfrac{x}{t}$
推论 B · 中间时刻速度
时间中点的瞬时速度恰好等于该段时间内的平均速度：
$v_{t/2} = \dfrac{v_0 + v}{2} = v_{\text{avg}}$
这是一个极为重要的结论——在纸带实验中，某段的平均速度就等于中间时刻的瞬时速度。
推论 C · 中间位置速度
位移中点的瞬时速度：
$v_{x/2} = \sqrt{\dfrac{v_0^2 + v^2}{2}}$
易错：$v_{t/2} \neq v_{x/2}$！对于加速运动：$v_{x/2} > v_{t/2}$；对于减速运动：$v_{x/2} > v_{t/2}$（同样成立）。两者只在匀速时相等。
推论 D · 逐差相等（Δx = aT²）
在匀变速运动中，任意相邻等时间间隔 $T$ 内的位移之差恒为常数：
$\Delta x = x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = \cdots = aT^2$
推导：为什么 Δx = aT²
设某时刻速度为 $v_0$，取连续两段等时间 $T$：
1第一个 $T$ 内的位移
$x_1 = v_0 T + \dfrac{1}{2}aT^2$
2第一个 $T$ 末的速度（即第二段初速度）
$v_1 = v_0 + aT$
3第二个 $T$ 内的位移
$x_2 = v_1 T + \dfrac{1}{2}aT^2 = (v_0 + aT)T + \dfrac{1}{2}aT^2$
4求差
$\Delta x = x_2 - x_1 = aT \cdot T = aT^2$
$v_0 T$ 和 $\frac{1}{2}aT^2$ 在作差时全部消去，只剩 $aT^2$！
推广
$x_m - x_n = (m-n)\,aT^2$
第 $m$ 段与第 $n$ 段的位移差 = 间隔段数 × aT²（逐差法的理论基础）
Tab 2 · 初速为零的比例关系
适用条件：$v_0 = 0$ 的匀加速直线运动。
这是一类极为特殊的运动——自由落体、光滑斜面下滑、从静止启动的匀加速运动都满足此条件。
掌握比例关系可以秒杀大量选择题。
速度比与总位移比
设 $v_0 = 0$，$a$ 恒定。在 $t = T, 2T, 3T, \ldots, nT$ 时刻：
速度比：由 $v = at$，速度与时间成正比：
$v_1 : v_2 : v_3 : \cdots : v_n = 1 : 2 : 3 : \cdots : n$
总位移比：由 $x = \frac{1}{2}at^2$，总位移与时间的平方成正比：
$x_1 : x_2 : x_3 : \cdots : x_n = 1^2 : 2^2 : 3^2 : \cdots : n^2 = 1 : 4 : 9 : \cdots : n^2$
★ 口诀
"速度跟 $n$ 走，位移跟 $n^2$ 走"
连续等时间位移比（奇数比）
将总位移做差，得到每段（第Ⅰ段、第Ⅱ段……）的位移：
- 第Ⅰ段：$x_Ⅰ = \frac{1}{2}aT^2$
- 第Ⅱ段：$x_Ⅱ = \frac{1}{2}a(2T)^2 - \frac{1}{2}aT^2 = 3 \cdot \frac{1}{2}aT^2$
- 第Ⅲ段：$x_Ⅲ = \frac{1}{2}a(3T)^2 - \frac{1}{2}a(2T)^2 = 5 \cdot \frac{1}{2}aT^2$
- 第 $n$ 段：$x_n = (2n-1) \cdot \frac{1}{2}aT^2$
结论
$x_Ⅰ : x_Ⅱ : x_Ⅲ : \cdots : x_n = 1 : 3 : 5 : \cdots : (2n-1)$
连续等时间间隔位移之比 = 连续奇数之比
验证：$\Delta x = x_Ⅱ - x_Ⅰ = 3 \cdot \frac{1}{2}aT^2 - 1 \cdot \frac{1}{2}aT^2 = aT^2$ ✓ 与逐差公式一致！
典型例题
题目：物体从静止开始做匀加速直线运动，第 3 s 内的位移为 5 m，求加速度 $a$。
1从静止出发，第 $n$ 秒内位移公式：$x_n = (2n-1) \cdot \frac{1}{2}aT^2$，其中 $T = 1\text{ s}$
2第 3 s 内即 $n = 3$：
$x_3 = (2 \times 3 - 1) \cdot \dfrac{1}{2}a \cdot 1^2 = 5 \cdot \dfrac{1}{2}a$
3已知 $x_3 = 5$ m：
$5 = \dfrac{5}{2}a \implies a = 2\ \text{m/s}^2$
答：加速度 $a = 2\ \text{m/s}^2$
★ 快速解法
第 $n$ 秒内位移 $x_n = (2n-1) \cdot \frac{1}{2}a$ · 直接用奇数比秒杀
Tab 3 · 高考考法与易错点
高考定位：匀变速直线运动推论在高考中几乎年年出现，
主要考查 纸带实验、自由落体、刹车问题 和 追及相遇。
掌握易错点是拿满分的关键。
纸带处理实验：用 Δx=aT² 测加速度
打点计时器每隔 $T$（如 $T=0.02$ s 或 $T=0.1$ s）打一个点，纸带上相邻计数点的间距为 $x_1, x_2, x_3, \ldots$
方法一 · 逐差法（最常用）：
1取连续6段位移 $x_1 \sim x_6$
$a = \dfrac{(x_4+x_5+x_6)-(x_1+x_2+x_3)}{9T^2}$
利用推广式 $x_m - x_n = (m-n)aT^2$，取 $m-n=3$，再求平均以减小误差。
方法二 · 中间时刻速度法：
$v_n = \dfrac{x_n + x_{n+1}}{2T}$（某点瞬时速度 = 前后两段位移之和 / 两倍间隔）
然后作 $v\text{-}t$ 图，斜率即为加速度 $a$。
注意：$T$ 是相邻计数点之间的时间间隔。如果每 5 个点取一个计数点，则 $T = 5 \times 0.02 = 0.1$ s。
自由落体：a=g, v₀=0 的特殊化
自由落体是 $v_0 = 0$，$a = g \approx 9.8\ \text{m/s}^2$（竖直向下）的匀加速运动。三个基本公式直接特殊化：
自由落体公式组
$v = gt$，$\quad h = \dfrac{1}{2}gt^2$，$\quad v^2 = 2gh$
$v = gt$，$\quad h = \dfrac{1}{2}gt^2$，$\quad v^2 = 2gh$
比例关系也全部适用：第1s、第2s、第3s内位移比 = 1:3:5。
题目：一物体从楼顶自由落下，最后 1 s 内下落的高度为楼高的 $\frac{7}{16}$，求楼高 $H$。
1设总时间 $t$，则 $H = \frac{1}{2}gt^2$
2前 $(t-1)$ s 内位移 $= \frac{1}{2}g(t-1)^2$
3最后 1 s 位移 $= H - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = \frac{7}{16}H$
$\dfrac{1}{2}gt^2 - \dfrac{1}{2}g(t-1)^2 = \dfrac{7}{16} \cdot \dfrac{1}{2}gt^2$
4化简：$t^2 - (t-1)^2 = \frac{7}{16}t^2$ → $2t - 1 = \frac{7}{16}t^2$
$7t^2 - 32t + 16 = 0 \implies t = 4\ \text{s}$（舍去 $t = \frac{4}{7}$）
5$H = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 16 = 78.4$ m
答：楼高 $H = 78.4\ \text{m}$
刹车问题：先判停！
刹车问题本质是匀减速到零后不再运动。最大的陷阱就是直接代公式——如果给定的时间已经超过停车时间，则不能再用公式计算！
关键先求停车时间 $t_0$
$t_0 = \dfrac{v_0}{|a|}$（由 $v = v_0 - |a|t = 0$ 解得）
若题目所求时间 $t > t_0$，则实际运动时间只有 $t_0$，多余时间物体已静止！
题目：汽车以 $v_0 = 20$ m/s 刹车，加速度 $a = -4\ \text{m/s}^2$，求刹车后 6 s 内的位移。
判停停车时间 $t_0 = \dfrac{v_0}{|a|} = \dfrac{20}{4} = 5\ \text{s}$
比较$6\ \text{s} > 5\ \text{s}$，故 6 s 内的位移 = 5 s 内的位移
$x = v_0 t_0 + \dfrac{1}{2}a t_0^2 = 20 \times 5 + \dfrac{1}{2}(-4) \times 25 = 100 - 50 = 50\ \text{m}$
答：刹车后 6 s 内位移 $x = 50\ \text{m}$（而非 48 m！）
经典错误：不判停直接代入 $t=6$：$x = 20 \times 6 + \frac{1}{2}(-4)(36) = 120 - 72 = 48$ m ← 错！汽车 5 s 已停，第 6 s 静止。
追及相遇问题
追及相遇的核心：两物体在同一时刻到达同一位置。
- 列方程：$x_1(t) = x_2(t) + x_0$（$x_0$ 为初始间距）
- 临界条件：两者速度相等时恰好追上/恰好追不上 → 此时 $v_1 = v_2$
- 若速度相等时前者还没追上后者 → 永远追不上（此后距离增大）
题目：A 车在前以 $v_A = 10$ m/s 匀速行驶，B 车在后以 $v_B = 30$ m/s 同向行驶。B 车发现 A 车后以 $a = -2\ \text{m/s}^2$ 刹车，问两车初始距离至少多大才不会相撞？
临界恰好不相撞 → 两者速度相等时恰好相遇
1B 车减速到 $v_B' = v_A = 10$ m/s 的时间：
$t = \dfrac{v_B - v_A}{|a|} = \dfrac{30-10}{2} = 10\ \text{s}$
2此时间内 B 车位移：
$x_B = 30 \times 10 - \dfrac{1}{2} \times 2 \times 100 = 200\ \text{m}$
3此时间内 A 车位移：
$x_A = 10 \times 10 = 100\ \text{m}$
4最小安全距离：
$\Delta x = x_B - x_A = 200 - 100 = 100\ \text{m}$
答：初始距离至少 $d = 100\ \text{m}$
★ 追及问题口诀
"速度相等是临界 · 列方程解相遇 · 先判追不追得上"